REVUE 3

Eleftherios Kofidis : 1° partie

 

Qu'est-ce qu'une suite ?

Dans les sciences mathématiques on préfère parler de séquence. C'est un ensemble d'objets placés dans un ordre spécifique, les uns après les autres. De plus, ces objets sont du même type : des nombres réels ou des images, par exemple. Une séquence peut être de longueur finie ou infinie. Les valeurs de la température dans une chambre mesurées du matin à midi si elle est mesurée chaque minute forment un exemple de séquence finie. Mais si on considère cette valeur à chaque minute à partir d'un certain moment jusqu'à la fin du monde, cette séquence sera de longueur infinie (espérons-le !?).

 

Toronto I-1  gravure pointe sèche de  JM  Allais Toronto I-1  pointe sèche  de JM  Allais Toronto I-1 pointe sèche de JM Allais Toronto I-1 pointe sèche de JM Allais

 

Chaque objet dans une suite, qu'on appelle terme ou élément de la séquence, existe en lui-même en même temps qu'en tant que partie d'un ensemble qui le contient. On verra que le rôle d'un seul terme est beaucoup plus important dans le cas d'une longueur fini. Mais, dans la théorie comme souvent aussi dans la pratique le cas infini est le plus intéressant.
Toronto I-1    idem

 

Cela vient des propriétés des séquences auxquelles on s'intéresse. Prenons le cas d'une séquence d'objets numériques, une suite de nombres réels par exemple. ( appelée signal en sciences de l'information ). On veut souvent savoir s'il existe une limite dans la suite de ces nombres. Autrement dit, si les nombres avancent vers une "cible. " Dans l'exemple de la température décrit ci-dessus, on veut savoir si la température va être stabilisée après un temps fini ou bien si elle varie d'une façon telle qu'elle tend vers une certaine valeur. Cette valeur pouvant n'être atteinte qu'à l'infini. C'est justement là que réside la difficulté en même temps que la beauté de l'étude des séquences infinies.
Toronto I-2  pointe sèche de JM Allais

 

Dans le dernier des cas, où il y a une limite de la séquence, on dit que la séquence converge vers cette limite. En termes simples, ça signifie que la différence absolue entre les éléments de la séquence et l'élément limite diminue vers zéro lorsque le nombre des éléments considérés devient très grand. Ce dernier, c'est à dire le très grand nombre d'éléments, signifie que lorsqu'on parle de la convergence d'une séquence infinie, on ne s'intéresse qu'à ce qui se passe qu'à partir d'un élément donné mais qui varie d'un cas à un autre. Autrement dit, la diminution de la différence mentionnée ci-dessus peut apparaître à partir de l'élément no. 5 ou de l'élément no. 10000 ou bien de celui de no. 1000000, peu importe.

 

 Toronto II-1 pointe sèche de JM Allais Toronto II-2  pointe sèche de JM Allais

 

Disons que l'élément de référence est le no. 1000. Alors, la limite de la séquence ne change pas quels que soient ses 1000 premiers éléments. C'est pourquoi on dit qu'un seul élément d'une séquence infinie ne joue aucun rôle vis-à-vis de sa limite. En d'autres termes on peut modifier un grand nombre d'éléments sans changer la limite, pourvu que ce nombre reste fini.

 

pointe sèche de JM Allais

Mais est-ce que toutes les séquences ont une limite ?

La réponse est négative. Un exemple simple est donné par la séquence des nombres 1 et 2 qui alternent. On peut pourtant trouver un sous-ensemble des éléments d'une séquence sans limite, c'est à dire une sub-séquence, qui ait une limite. Dans l'exemple de la séquence 1,2,1,2,..., ça pourrait être la séquence 1,1,1,…, qui converge à 1. Mais quelle est la limite et comment peut-on définir la convergence d'une séquence de longueur finie ? En mathématique, ça n'a pas vraiment de sens. Mais en pratique, c'est très important.

 

Considérons une séquence des tableaux, disons 10 au total, placés tous dans un certain ordre. On peut regarder ça comme une séquence d'images, c'est à dire comme un signal tridimensionnel de longueur finie. Est-ce qu'on peut parler de convergence ici, d'après ce qu'on a dit auparavant ?

Ca pourrait signifier qu'à partir d'un certain tableau, disons le no. 4, les similarités avec celui de no. 10 deviennent de plus en plus apparentes, où le mot `similarités' peut avoir plusieurs sens, par exemple par rapport aux couleurs, au thème, à la technique, etc. En outre, dans le cas présent, le tableau no. 3: par exemple, quoique n'influençant pas directement la `limite' de la séquence, jouera un rôle par l'influence qu'il a sur les sentiments et l'impression du spectateur. Comme nous l'avons déjà dit, cela vient du fait qu'il n'y a qu'un nombre fini d ' éléments. Autrement dit, il y a une mémoire dans la séquence.

TorontoIII-1  eau forte de JM Allais TorontoIII-2 eau forte de JM Allais

 

Ce thème, de la mémoire, quoique informel ici, a dans les sciences de l'information, une importance énorme. Selon notre définition de la convergence, il y a toujours une certaine mémoire dans une séquence qui a une limite. À partir d'un certain élément, les éléments ressemblent de plus en plus à la limite, donc ils se ressemblent entre eux. C'est comme si la séquence "se souvenait " de son passé plus ou moins récent.

 

Toronto I-3  pointe sèche de JM Allais

 

Quand une séquence aurait-elle une mémoire très forte ? Evidemment, ça ne pourrait être autre que le cas d'une séquence constante. C'est à dire, une séquence d'éléments tous égaux entre eux. Dans l'exemple de la suite des tableaux, cela correspondrait à des tableaux identiques (selon la mesure de similarité adoptée), une situation pas tellement intéressante. Un cas plus réaliste, qu'on rencontre d'ailleurs très souvent dans la nature, serait une séquence dont les éléments sont différents mais d'une certaine façon corrélés entre eux. Par exemple, la température dans la chambre à un certain moment est normalement liée à celle d'un moment récent. Dans le cas des tableaux, cela signifierait qu'il y a une liaison entre eux, qu'ils ne sont pas indépendants les uns des autres.

 

Je rappelle que toutes les illustrations et textes cités sur ce site restent la propriété de leurs ayants droit légitimes. Ils seront retirés à leur demande. Toute utilisation à but commercial de matériel se trouvant sur ce site sans autorisation de leurs ayants-droit est bien entendue proscrite.

REVUE 3